Proporción directa: qué es la proporcionalidad directa e inversa

Las problemas matemáticos se resuelven con diferentes cálculos, pero la proporción directa es un dato que se usa asiduamente y para obtener el resultado hay que tener conocimientos sobre proporcionalidad directa e inversa.

En este caso, vamos a investigar cómo se obtiene la proporción directa en diferentes casos, recurriendo para ello a dos definiciones que son clave para entenderlo.

Proporción directa: definición

Para entender qué es la proporción directa y cómo se calcula, es importante saber que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada por el mismo número. Igualmente, dos magnitudes son directamente proporcionales si, al dividir una por cualquier número, entonces la otra queda dividida por el mismo número.

Proporción directa, un cálculo necesario para las matemáticas.

Para entender la proporción directa, hay que saber que se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
A menos cantidad en la primera magnitud, corresponde menos cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.

Otra manera de determinar si dos magnitudes son directamente proporcionales es por medio de su cociente. El cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales siempre es constante.

Proporción directa: ejemplos

Una de las formas más simples para entender qué es la proporción directa es por medio de algunos ejemplos.

Estos son diferentes casos de cantidades directamente proporcionales:

El peso de un producto y su precio son dos magnitudes directamente proporcionales. Observemos que si 1 kg de tomates cuesta $1, entonces 2 kg de tomates costarán 2 pesos; y 0.5 kg de tomates costará 0.5 pesos.

Es decir, por más kilos de tomate se pagarán más pesos. Asimismo, por menos kilos de tomate se pagarán menos pesos. Para entender la proporción directa hay que observar, del mismo modo, que dividir el peso entre el precio siempre da 1 como cociente.

Proporción directa: más ejemplos

Otros ejemplos de magnitudes directamente proporcionales que se utilizan de forma habitual son para obtener el tiempo que tardará un auto para recorrer una distancia. En este caso, la proporción directa se calcula de la siguiente forma:

La distancia recorrida por un auto y el tiempo empleado en recorrer esa distancia: recorrer el doble de distancia implica emplear el doble de tiempo.
El volumen de un cuerpo y su peso: un cuerpo con doble de volumen pesará el doble, siempre que esté hecho del mismo material.
La cantidad de caramelos y el precio a pagar por ellos: pagarás el doble de pesos para comprar el doble de caramelos.

Proporción directa y magnitud

Para entender más sobre proporción directa y proporcionalidad en general, es importante saber qué es una magnitud.

Una magnitud es aquello que se puede medir. Por ejemplo, el peso de una persona, el número de albañiles trabajando, el número de manzanas en un cajón, la distancia entre dos pueblos o la velocidad de un caballo al galopar.

La proporción directa sirve para medir cuánto se tardará en llegar a un lugar en auto: distancia y tiempo.

Todas estas magnitudes se pueden relacionar con otras. Las relaciones de proporción directa que se pueden establecer son las siguientes:

El peso de una persona con el talle de ropa que usa.
El número de albañiles trabajando con el tiempo que tardan en terminar la obra.
El número de manzanas con el número de cajas necesarias para colocarlas.
La distancia entre dos pueblos con el tiempo que se tarda en ir de uno a otro.
La velocidad de un caballo galopando con el tiempo que tarda el caballo en llegar de un punto a otro.

Proporción directa y sus relaciones

Para que dos magnitudes mantengan una relación de proporcionalidad directa tienen que estar relacionadas de tal forma que si duplicamos una, la otra se tiene que duplicar, si la triplicamos la otra también, y si la reducimos a la mitad la otra también se tiene que reducir.

Se puede entender que si aumentamos la cantidad de una, la otra tiene que aumentar también proporcionalmente.

Por ejemplo: ¿Qué relación podemos ver entre el número de manzanas y el número de cajas para guardarlas?. Entonces se piensa la proporción directa entre manzanas y cajas.

Se puede observar que, mientras más manzanas se tienen, más cajas se necesitan. Estas dos magnitudes mantienen una relación proporcionalmente directa. Es importante saber que el cociente (razón o proporción) entre dos magnitudes directamente proporcionales es siempre constante.

Proporción directa: métodos

Ahora bien, dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra lo hace en la misma proporción, y al decrecer la primera la segunda también decrece en la misma proporción. Para resolver problemas de magnitudes que son directamente proporcionales se pueden utilizar 2 métodos:

Reducción a la unidad
Regla de tres directa

Ejemplo: Un auto consume 8 litros en 100 km, 16 litros en 200 km, 24 litros en 300 km. Vemos que:

Cuando la distancia se multiplica por 2, y pasa de 100 km a 200 km, el consumo también se multiplica por 2, pasando de 8 a 16 litros.
Cuando la distancia se multiplica por 3, y pasa de 100 km a 300 km, el consumo también se multiplica por 3, pasando de 8 a 24 litros.

Aquí otro ejemplo:

Un estudiante compra 8 cuadernos y paga 20 pesos; ¿cuánto pagaría por 11 cuadernos?

a) Reducción a la unidad

calculamos el valor de la segunda variable para una unidad de la primera:

1 cuadernos cuesta 20 / 8 = 2,5 pesos.

Multiplicamos el valor por unidad de la segunda variable por el número de unidades de la primera: Por 11 cuadernos pagará: 11 x 2,5 = 27,5 pesos

b) Regla de tres directa

La "Regla de tres directa" se basa en la proporcionalidad de 2 magnitudes.

Si para un valor de una variable (A) la segunda variable (B) toma un valor determinado, para un valor diferente de la primera magnitud puedo calcular el valor que tomará la segunda ya que ambas evolucionan de forma directamente proporcional.

Lo planteamos de la siguiente manera:

8 cuadernos (A) --------- > 20 pesos (B)
11 cuadernos (C) -------- > "X" pesos
Es importante prestar atención a cómo se despeja la incógnita: "X" = (C x B) / A
Luego: Donde "X" = (11 x 20) / 8 = 27,5 pesos

Proporción directa para distintos cálculos

Existen diferentes cálculos en los cuales se debe aplicar la proporción directa. Estos son la regla de tres simple y directa; los repartos directamente proporcionales; los porcentajes.

La proporción directa sirva para cálculos de porcentaje.

Proporción directa: regla de tres simple

La regla de tres simple y directa consiste en una relación de cantidades con proporcionalidad directa, que se da cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, se debe calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Proporción directa: repartos directamente proporcionales

Un reparto directamente proporcional consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Proporción directa: porcentajes

Para sacar los porcentajes también se necesita la proporción directa. Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Una forma de obtener el porcentaje de un número es siguiendo estos pasos básicos:

1- Multiplicar el número por el porcentaje. Por ejemplo, si quiero saber el 32% de 517, debo multiplicar ambas cifras (ej: 32 x 517 = 16.544).
2- Luego hay que dividir el resultado por 100.

Proporción directa: tablas

Una tabla de proporcionalidad es una tabla de valores numéricos que relacionan dos magnitudes: alto y ancho de un cuaderno, precio y peso de una fruta, velocidad y tiempo en el movimiento de una bicleta,o número de vacas y tiempo que tardan en consumir su pasto. Nos encontramos que esa relación es directa cuando las dos magnitudes crecen o decrecen ambas a la vez de forma proporcional.

Podemos ver que cuando crece el peso (el doble) crece el precio también (el doble) y cuando baja (a la mitad) eso pasa a ambas magnitudes a la vez.

Si se usa la regla de tres simple el cálculo es el siguiente:

Para calcular el valor de X expresamos la tabla como igualdad de fracciones equivalentes, es decir, 2/X= 1,5/6, despejando la X obtenemos X=2×6/1,5 = 12/1,5 = 8. Así podemos calcular cualquier valor de tabla desconocido.

Proporción directa e inversa

Ya vimos que la proporcionalidad directa que hay entre dos magnitudes indica que cuanto más crece una de las magnitudes más crece la otra. Pero cuando una magnitud crece y la otra disminuye proporcionalmente, se le llama proporcionalidad Inversa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

Proporción directa e inversa: ejemplos

Por ejemplo cuanto mayor velocidad lleve un auto de carreras, menos tiempo tardará en dar una vuelta al circuito.

Imaginemos que dando una vuelta al circuito a 100 km/h, el auto tarda 12 minutos. En este caso y sabiendo que existe una relación de proporcionalidad inversa podremos decir que si multiplicamos la velocidad por 2 (200 km/h), entonces el tiempo por vuelta quedará dividido entre 2 (6 minutos).

Si por el contrario, se reduce su velocidad a la mitad (100 km/h : 2 = 50 km/h) el tiempo por vuelta sería al doble (12 min x 2 = 24 min)

Si el auto diera su última vuelta en 4 minutos, ¿qué habría pasado con la velocidad del auto durante esa vuelta?: (12 min : 4 min = 3) Como el tiempo se ha dividido entre 3, la velocidad se tiene que multiplicar por 3 (3 x 100 km/h = 300 km/h). Es decir que la velocidad a la que el auto dio su última vuelta fue 300 km/h.

Con estos ejemplos podemos observar el porqué del nombre inversa para este tipo de relación de proporcionalidad. Lo que ocurre con una de las magnitudes ocurre de forma inversa con la otra magnitud, cuando una crece la otra disminuye y viceversa.

Proporción directa: razón

Para calcular la razón en un caso de proporción directa tenemos que multiplicar las cantidades de cada magnitud relacionadas entre sí.

100 km/h x 12 min = 1200
200 km/h x 6 min = 1200
50 km/h x 24 min = 1200
300 km/h x 4 min = 1200

Al ver esto recordamos que la razón de proporción es una constate, es decir que es igual para cada par de números que representan las magnitudes relacionadas. En este caso la razón de proporción es 1200

Algunos ejemplos de proporcionalidad directa e inversa en la vida cotidiana pueden ser:

Proporción directa:

Entre más agua coloques a un jugo más jugo se tendrá.
Entre más tiempo se deje en el Sol un metal más caliente se pondrá.
Entre más tiempo deje cargando un teléfono más carga tomará.
Entre más trabajadores se contraten más se debe pagar por sueldo.

Proporción inversa:

Entre mayor sea la velocidad menor será el tiempo.
Entre más trabajadores tengamos menos tiempo gastamos en realizar una tarea.
Entre más gastos se tengan menos ganancias se obtienen.
Entre más caudal haya en la pila menos el tiempo de llenado.

Proporción directa: factor constante de proporcionalidad

Otro tema que aparece cuando hablamos de proporción directa es la constante o factor de proporcionalidad, que puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.

Mejor definido es decir que cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa.

La proporción directa también se usa en la regla de tres simple.

Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.

Proporción directa: series proporcionales

En muchas situaciones prácticas, cuando se habla de proporción directa, hay que tener en cuenta que se establecen relaciones entre las cantidades de dos magnitudes, de tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número las distintas cantidades de la otra.

En estas situaciones tenemos dos series de números que se dicen son proporcionales entre sí. De esta manera, en general decimos que dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie.

La relación entre ambas series de números también se puede describir diciendo que se establece una aplicación lineal de coeficiente k entre los conjuntos numéricos.

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